O método de Diofanto e a curva $a^b = b^a$

Abstract

A curva descrita pelos pares (a, b) no plano tais que a, b > 0, a ≠ b e a^b = b^a é parametrizável pelos declives 0 < t ≠ 1 do feixe de rectas de equações cartesianas y = tx, o que permite descrever facilmente os pontos do traço desta curva cujas coordenadas são ambas números algébricos, ou inteiros algébricos ou racionais. Em particular, uma tal parametrização fornece um método simples de encontrar coordenadas de pontos desta curva que são números transcendentes.