Notas sobre o Problema anterior e Plano psicadélico

Resumo

Imaginemos que cada ponto do plano é pintado vermelho ou azul. Será que há dois pontos da mesma cor exactamente a um metro de distância um do outro? Esta é uma questão fácil: considere-se um triângulo equilátero de lado um. Que cores podem ter os seus vértices?. . . Propomos uma questão mais interessante: Provar que há um rectângulo cujos vértices têm todos a mesma cor. No mesmo contexto, será que pelo menos uma das cores (azul ou vermelho) realiza todas as distâncias possíveis? Usemos agora três cores. Admitamos então que os pontos do plano são pintados de azul, vermelho ou verde. Prove que há dois pontos da mesma cor exactamente a um metro de distância um do outro. Deixemos as cores de parte. Peço agora que o leitor me dê um exemplo de um conjunto de pontos no plano, S, de cardinalidade mínima, com a propriedade de não existir nenhum ponto do plano cuja distância a cada elemento de S ser racional.