Generalizações da Etiquetagem de Pak-Stanley

Resumo

Neste artigo pretendemos dar a conhecer ao leitor uma área que consideramos particularmente atraente, onde temos obtido alguns resultados que tentaremos também relatar. O ponto de partida é uma construção (a “etiquetagem de Pak-Stanley”), que associa um vetor a cada uma das regiões em que determinado conjunto de hiperplanos divide o espaço euclideano Rn. Regiões vizinhas diferem (em 1) numa coordenada, crescendo ao afastar-se de uma determinada região, etiquetada com (1, 1, . . . , 1). Há cerca de vinte anos, Pak e Stanley mostraram que, no caso de os hiperplanos formarem o “arranjo de Shi”, as etiquetas de Pak-Stanley formam um conjunto previamente estudado, o conjunto das “parking functions”, e que a etiquetagem é bijetiva, muito embora seja difícil definir a função inversa, isto é, obter a região a partir da etiqueta [3]. Esta construção tem uma extensão natural a outros arranjos. Recentemente, Mazin obteve uma caracterização muito geral dos conjuntos de etiquetas assim obtidos, que implica, em particular, o resultado de Pak e Stanley. Com base neste trabalho de Mazin, estudamos as etiquetagens de outro arranjos, o arranjo de Ish recentemente definido e um conjunto de arranjos por nós introduzido, que constitui uma classe naturalmente balizada, por um lado, pelo arranjo de Shi, e por outro, pelo arranjo de Ish. O nosso trabalho, em traços gerais, consistiu em descrever o conjunto das etiquetas respetivas e em mostrar que as etiquetagens são bijetivas, recorrendo adiferentes técnicas e resultados que aqui são explicitamente referidos. A exposição dessas técnicas e o relato desses resultados, alguns já “clássicos” da área e outros muito recentes, foram talvez a nossa razão mais forte para a escrita deste pequeno texto.