Jogando no limite

Resumo

Considere-se o seguinte jogo entre dois jogadores, após fixarem um conjunto S ⊆ [0, 1]. O jogador I é o primeiro a jogar, escolhendo x1 tal que 0 < x1 < 1. Em seguida, o jogador II escolhe y1 verificando a condição x1 < y1 < 1. Daí em diante, e alternadamente, na sua n-ésima jogada, o jogador I escolhe xn tal que xn−1 < xn < yn−1 e o jogador II selecciona yn tal que xn < yn < yn−1 . O jogo prossegue indefinidamente, produzindo uma sucessão (xn), n∈N monótona e limitada; o seu limite, α, está em [0, 1] e determina quem vence o jogo: o jogador I ganha se α∈ S ; caso contrário, ganha o jogador II. Qual dos jogadores, se algum, tem uma estratégia vencedora? E de que modo isso depende de S?